62.不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

img

  • 输入：m = 3, n = 7
  • 输出：28

示例 2：

  • 输入：m = 2, n = 3
  • 输出：3

解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

  1. 向右 -> 向右 -> 向下
  2. 向右 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 3：

  • 输入：m = 7, n = 3
  • 输出：28

示例 4：

  • 输入：m = 3, n = 3
  • 输出：6

提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

动态规划

机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。

按照动规五部曲来分析：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

  1. 确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

  1. dp数组的初始化

如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为：

1
2
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
  1. 确定遍历顺序

这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。

  1. 举例推导dp数组

如图所示：

62.不同路径1

Java代码如下:

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public static int uniquePaths(int m, int n) {
    // dp[i][j] 在(0,0) 位置到(i,j)不同的路径数量
	int[][] dp = new int[m+1][n+1];
	// 初始化
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i<m;i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for(int j = 1;j<n;j++) {
        dp[0][j] = 1;
    }
    // 遍历方式  从上到下 从左到右
    for(int i = 1;i < m;i++) {
        for(int j = 1;j < n;j++) {
            // 递推公式
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}